Question

14．如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2$\sqrt{2}$．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-CD-B的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．

Answer 1

分析 （1）证明直线BD所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直，进而得到线面垂直．
（2）由题意求出两个平面的法向量，求出两个向量的夹角，进而转化为二面角P-CD-B的平面角即可．
（3）求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜线PC所在的向量$\overrightarrow{PC}$，然后求出$\overrightarrow{PC}$在法向量上的射影即可得到点到平面的距离．

解答 （1）证明：建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．
在Rt△BAD中，AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，
∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0）
∴$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AP}$=0，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AC}$=0，即BD⊥AP，BD⊥AC，
又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
（2）解：由（1）得$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0）．
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
即$\left\{\begin{array}{l}{2y-2z=0}\\{-2x=0}\end{array}\right.$，
故平面PCD的法向量可取为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，1，1）
∵PA⊥平面ABCD，
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2）为平面ABCD的法向量．
设二面角P-CD-B的大小为θ，依题意可得cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角P-CD-B的大小是45°．
（3）解：由（1）得$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），
同理，可得平面PBD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，1，1）．
∵$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2），
∴C到面PBD的距离为d=|$\frac{2+2-2}{\sqrt{1+1+1}}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便建立空间直角坐标系利用向量的基本运算解决线面共线、空间角与空间距离等问题．