Question

5．若异面直线a，b所成角为60°，AB是公垂线，E，F分别是异面直线a，b上到A，B距离为2，1的两点，当|EF|=3时，线段AB的长为$\sqrt{2}$或$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$，两边平方即可解得线段AB的长．

解答 解：如图，由$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$，得
由$\overrightarrow{EF}$²=$\overrightarrow{EA}$²+$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{BF}$²+2|$\overrightarrow{EA}$||$\overrightarrow{BF}$|cosθ
①当θ=60°时，有9=4+$\overrightarrow{AB}$²+1+2•2•$\frac{1}{2}$，得|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{2}$；
②当θ=120°时，有9=4+$\overrightarrow{AB}$²+1-2•2•$\frac{1}{2}$，得|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{6}$．
∴线段AB的长为$\sqrt{2}$或$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{2}$或$\sqrt{6}$．

点评 本题考虑到若用前两种方法都难以奏效，于是选用了“回路法”，更方便了“异面直线a，b所成的角为60°”的讨论与运用，使得解题快捷无比．