Question

10．如图，以x轴正半轴为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们终边分别与单位圆相交于点P、Q．已知点P（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，求：
（1）Q点坐标；
（2）sin（α+β）．

Answer 1

分析 （1）设Q点坐标为（x，y），根据向量的数量积为0，以及向量的模为1，即可求出x，y的值，
（2）由三角函数的定义，得出cosα、sinα，cosβ，sinβ，从而求出sin（α+β）的值．

解答 解：（1）∵P（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），以x轴正半轴为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），
∴0＜β＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＜α＜π
设Q点坐标为（x，y），
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，P点在单位圆上，
∴-$\frac{3}{5}$x+$\frac{4}{5}$y=0，x²+y²=1，
解得x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{3}{5}$，
∴Q点坐标为（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$），
（2）P（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），由三角函数的定义得，cosα=-$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$，
Q（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$），由三角函数的定义得，sinβ=$\frac{3}{5}$，cosβ=$\frac{4}{5}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{4}{5}×\frac{4}{5}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{7}{25}$．

点评 本题考查了三角函数的求值与应用问题，解题时应根据三角函数的定义以及三角恒等公式进行计算，是基础题．