Question

17．如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD是边长为2的正 三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形．
（1）求证：PC⊥AD；
（2）求点D到平面PAC的距离．

Answer 1

分析 （1）法一：取AD中点O，连结OP，OC，由△PAD，△ACD均为正三角形，得OC⊥AD，OP⊥AD，由此能证明PC⊥AD．
法二：取PC的中点M，由△PAD，△ACD均为正三角形，且△PAD≌△ACD，得AM⊥PC，DM⊥PC，由此能证明PC⊥AD．
（2）设点D到平面PAC的距离为h，由V_D-PAC=V_P-ACD，能求出点D到平面PAC的距离．

解答 证明：（1）证法一：取AD中点O，连结OP，OC，
∵底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，
∴△PAD，△ACD均为正三角形，…（1分）
∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC?平面POC，OP?平面POC，…（4分）
∴AD⊥平面POC，又PC?平面POC，
∴PC⊥AD．…（6分）
证法二：取PC的中点M，∵底面ABCD是∠ABC=60°的菱形．
∴△PAD，△ACD均为正三角形，且△PAD≌△ACD，…（1分）
∴PA=AC，PD=CD         …（2分）
∴AM⊥PC，DM⊥PC，…（4分）
又AM∩DM=M，AM?平面AMD，DM?平面AMD，
∴PC⊥平面AMD，又AD?平面AMD，
∴PC⊥AD．…（6分）
解：（2）由（1）知PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P-ACD的体高．
在Rt△POC中，PO=OC=$\sqrt{3}$，PC=$\sqrt{6}$，
在△PAC中，PA=AC=2，PC=$\sqrt{6}$，
边PC上的高AM=$\sqrt{P{A}^{2}-P{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴△PAC的面积S_△PAC=$\frac{1}{2}•PC•AM=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，…（8分）
设点D到平面PAC的距离为h，由V_D-PAC=V_P-ACD，得：
$\frac{1}{3}{S}_{△PAC}•h$=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PO$，又${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，…（10分）
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}•h=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$，解得h=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$，
∴点D到平面PAC的距离为$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．