Question

7．如图，设P是上半椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（y≥0）上任意一点，F为右焦点，PF的最小值是$\sqrt{2}$-1，离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，上半椭圆C与x轴交于点A₁，A₂．
（1）求出a²，b²的值；
（2）设P是上半椭圆C上位于第一象限内的任意一点，过A₂作A₂R⊥A₁P于R，设A₂R与曲线C交于Q，求直线PQ斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PF的最小值为a-c=$\sqrt{2}$-1，解方程可得a，c，由a，b，c的关系即可得到b，可得所求值；
（2）先考察一般性，直线A₁P的方程是y=k（x+a），与椭圆方程联立，求得P，Q的坐标，可得直线PQ斜率，即可求出取值范围．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
PF的最小值为a-c=$\sqrt{2}$-1，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，b=1，
即有a²=2，b²=1；
（2）为了减少计算量，先考察一般性．
设曲线C的方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0，y≥0），直线A₁P的斜率是k，
因为P是曲线C上位于第一象限内的任意一点，所以k∈（0，$\frac{b}{a}$），
设P，Q的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），则直线A₁P的方程是y=k（x+a），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+a）}\\{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$消去y得，
（a²k²+b²）x²+2a³k²x+a²（a²k²-b²）=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{a（{b}^{2}-{a}^{2}{k}^{2}）}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}\\{{y}_{1}=\frac{2a{b}^{2}k}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}\end{array}\right.$．
将上式中的a换成-a，k换成-$\frac{1}{k}$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{a（{a}^{2}-{b}^{2}{k}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}{k}^{2}}}\\{{y}_{2}=\frac{2a{b}^{2}k}{{a}^{2}+{b}^{2}{k}^{2}}}\end{array}\right.$．
又上式中的a=$\sqrt{2}$，b=1，代入可解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{\sqrt{2}（1-2{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}}\\{{y}_{1}=\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{\sqrt{2}（2-{k}^{2}）}{2+{k}^{2}}}\\{{y}_{2}=\frac{2\sqrt{2}k}{2+{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
所以k_PQ=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{3}$（k-$\frac{1}{k}$），
因为g（k）=k-$\frac{1}{k}$在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上单调递增，
所以k_PQ∈（-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{6}$）．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．