Question

16．已知椭圆的中心是原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短轴长为2，定点A（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线与椭圆交于点M、N，当|MN|最小时，求△AMN的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，求得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设点A到直线MN的距离为d，则△AMN的面积=$\frac{1}{2}$|MN|d，其中|MN|可以利用弦长公式求得，利用函数求最值，进而得到所求面积．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=1，
由a²-b²=c²，解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）椭圆的右焦点F（1，0），
设直线MN的方程是x=my+1，与x²+2y²=2联立，
可得（m²+2）y²+2my-1=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，
由题意y₁，y₂满足方程（m²+2）y²+2my-1=0，
△=4m²+4（m²+2）＞0即m²+1＞0，
则方程根与系数的关系可得：y₁+y₂=-$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$，
即有|MN|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₁-y₂|，
又|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{-2m}{2+{m}^{2}}）^{2}+\frac{4}{2+{m}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{2+{m}^{2}}$，
则|MN|=$\frac{2\sqrt{2}（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$，令t=1+m²（t≥1），
即有|MN|=$\frac{2\sqrt{2}t}{1+t}$=$\frac{2\sqrt{2}}{1+\frac{1}{t}}$≥$\frac{2\sqrt{2}}{1+1}$=$\sqrt{2}$，
当t=1即m=0时，|MN|取得最小值$\sqrt{2}$，
点A（2，0）到直线MN的距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1，
于是△AMN的面积S=$\frac{1}{2}$|MN|d
=$\frac{\sqrt{2（{m}^{2}+1）}}{2+{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故△AMN的面积是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法和运用，同时考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式，以及弦长公式，考查运算化简能力，属于中档题．