Question

6．椭圆C₁与C₂的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，并且C₂的短轴为C₁的长轴，C₁与C₂的四个焦点构成的四边形面积是$2\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C₁与C₂的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C₂上非顶点的动点，P与椭圆C₁长轴两个顶点A，B的连线PA，PB分别与椭圆C₁交于点E，F．
（1）求证：直线PA，PB斜率之积为常数；
（2）直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，设C₁：$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$，C₂：$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{{4{b^2}}}=1$，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，从而得到b²=1，由此能求出椭圆C₁与C₂的方程．
（Ⅱ）（1）设P（x₀，y₀），则$\frac{x_0^2}{2}+\frac{y_0^2}{4}=1$，$A（-\sqrt{2}，0）$，$B（\sqrt{2}，0）$，由此能证明直线PA，PB斜率之积为常数．
（2）设E（x₁，y₁），则$\frac{x_1^2}{2}+y_1^2=1$，${k_{EA}}=\frac{y_1}{{{x_1}+\sqrt{2}}}$，${k_{EB}}=\frac{y_1}{{{x_1}-\sqrt{2}}}$，由此能求出直线AF与直线BE的斜率之积为常数．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵椭圆C₁与C₂的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
并且C₂的短轴为C₁的长轴，C₁与C₂的四个焦点构成的四边形面积是$2\sqrt{2}$．
∴依题意$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，设C₁：$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$，C₂：$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{{4{b^2}}}=1$，
由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，
且面积$S=\frac{1}{2}×2b×2\sqrt{2}b=2\sqrt{2}$，解得：b²=1，
所以椭圆C₁：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，C₂：$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$…．（4分）
证明：（Ⅱ）（1）设P（x₀，y₀），
则$\frac{x_0^2}{2}+\frac{y_0^2}{4}=1$，$A（-\sqrt{2}，0）$，$B（\sqrt{2}，0）$，
${k_{PA}}=\frac{y_0}{{{x_0}+\sqrt{2}}}$，${k_{PB}}=\frac{y_0}{{{x_0}-\sqrt{2}}}$…．（6分）
∴${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{y_0^2}{x_0^2-2}=\frac{4-2x_0^2}{x_0^2-2}=-2$，
直线PA，PB斜率之积为常数-2…．（8分）
解：（2）设E（x₁，y₁），则$\frac{x_1^2}{2}+y_1^2=1$，${k_{EA}}=\frac{y_1}{{{x_1}+\sqrt{2}}}$，${k_{EB}}=\frac{y_1}{{{x_1}-\sqrt{2}}}$，
∴${k_{EA}}•{k_{EB}}=\frac{y_1^2}{x_1^2-2}=\frac{{1-\frac{1}{2}x_1^2}}{x_0^2-2}=-\frac{1}{2}$，同理：${k_{FA}}•{k_{FB}}=-\frac{1}{2}$…．（10分）
∴${k_{EA}}•{k_{EB}}．{k_{FA}}•{k_{FB}}=\frac{1}{4}$，
由k_EA=k_PA，k_FB=k_PB，结合（1）有${k_{EA}}•{k_{FB}}=-\frac{1}{8}$…．（10分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两直线斜率之积为常数的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线方程、斜率公式等知识点的合理运用．