Question

14．为振兴苏区发展，赣州市2016年计划投入专项资金加强红色文化基础设施改造．据调查，改造后预计该市在一个月内（以30天记），红色文化旅游人数f（x）（万人）与日期x（日）的函数关系近似满足：$f（x）=3-\frac{1}{20}x$，人均消费g（x）（元）与日期x（日）的函数关系近似满足：g（x）=60-|x-20|．
（1）求该市旅游日收入p（x）（万元）与日期x（1≤x≤30，x∈N^*）的函数关系式；
（2）当x取何值时，该市旅游日收入p（x）最大．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立函数关系即可得到结论．
（2）根据分段函数的表达式，判断函数的单调性即可求出函数的最值．

解答 解：（1）$g（x）=\left\{\begin{array}{l}40+x（1≤x＜20，x∈N）\\ 80-x（20≤x≤30，x∈N）\end{array}\right.$（3分）
p（x）=f（x）•g（x），
$p（x）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{20}{x^2}+x+120（1≤x＜20，x∈N）\\ \frac{1}{20}{x^2}-7x+240（20≤x≤30，x∈N）\end{array}\right.$（6分）
（2）由（1）可知，p（x）在[1，10]上为增函数，在[10，20）上为减函数（8分）
当x∈[1，20）时，p（x）_max=p（10）=125（9分）
因为p（x）在[20，30]上为减函数，
所以当x∈[20，30]时，p（x）_max=p（20）=120（10分）
综上所述，当x=10时p（x）_max=125（12分）

点评 本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式判断函数的单调性的性质是解决本题的关键．