Question

4．若椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1上一点P到焦点F₁（-2，0）的距离为$\frac{13}{3}$，则△PF₁F₂的面积为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 设出P（m，n），代入椭圆方程，求得椭圆的a，b，c，e，运用椭圆的焦半径公式解方程可得m=2，求得n，再由三角形的面积公式，计算即可得到．

解答 解：设P（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{9}$+$\frac{{n}^{2}}{5}$=1，
椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的a=3，b=$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{9-5}$=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，
由椭圆的焦半径公式可得，
|PF₁|=a+em=3+$\frac{2}{3}$m=$\frac{13}{3}$，
解得m=2，n=±$\frac{5}{3}$，
则△PF₁F₂的面积为$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|n|=2•$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查焦点三角形的面积的求法，注意运用焦半径公式，属于中档题．