Question

19．如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．
（l）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）若AD=2，且tan∠ACD=$\frac{1}{3}$，求AO的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，OC⊥AB，推导出OA=OB，OC⊥AB，由此能证明直线AB与⊙O相切．
（2）延长DO交⊙O于点F，连结FC，由弦切角定理得△ACD∽△AFC，从而$\frac{CD}{PC}$=$\frac{1}{3}$，由此能求出AO的长．

解答 证明：（1）∵AB∥DE，∴$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OE}$，又OD=OE，∴OA=OB，
如图，连结OC，∵AC=CB，∴OC⊥AB，
又点C在⊙O上，∴直线AB与⊙O相切．
解：（2）如图，延长DO交⊙O于点F，连结FC，
由（1）知AB是⊙O的切线，∴弦切角∠ACD=∠F，
∴△ACD∽△AFC，∴tan∠ACD=tan∠F=$\frac{1}{3}$，
又∠DCF=90°，∴$\frac{CD}{PC}$=$\frac{1}{3}$，
∵AD=2，∴AC=6，
又AC²=AD•AF，∴2（2+2r）=6²，∴r=8，
∴AO=2+8=10．

点评 本题考查线与圆相切的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的简单运用．