Question

11．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为（1，0），离心率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）过点P（0，3）作一条与椭圆Γ相交的直线l，设交点为A，B，若点A，B均位于y轴的右侧，且$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{AP}$，求x轴上满足|QP|=|QB|的点Q的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得c=1，运用椭圆的离心率公式可得a，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+3，联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+24kx+24=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出点Q的坐标．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
可得a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+3，k＜0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＞0，x₂＞0），
∵$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{AP}$，P（0，3），∴x₂=2x₁，①
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
得（4k²+3）x²+24kx+24=0，（*）
∴x₁+x₂=$\frac{-24k}{3+4{k}^{2}}$，②，x₁x₂=$\frac{24}{3+4{k}^{2}}$，③
由①得x₁x₂=$\frac{2}{9}$（x₁+x₂）²，
又由②③得（$\frac{-8k}{3+4{k}^{2}}$）²=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，
∴k²=$\frac{9}{4}$，解得k=±$\frac{3}{2}$，
∵x₁＞0，x₂＞0，∴x₁+x₂=$\frac{-24k}{3+4{k}^{2}}$＞0，
可得k＜0，∴k=-$\frac{3}{2}$，
当k=-$\frac{3}{2}$时，方程（*）化为x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，∴B（2，0），A（1，$\frac{3}{2}$），
设Q（m，0），∵|QP|=|QB|，
∴m²+9=（m-2）²，解得m=-$\frac{5}{4}$，
∴Q（-$\frac{5}{4}$，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．