Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（1，0），点H（3，0）在椭圆上
（1）求椭圆的方程；
（2）点M在圆x²+y²=b²上，且M在第一象限，过M作圆x²+y²=b²的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF₂Q的周长是定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=1，a=3，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分别求出|F₂P|，|F₂Q|，结合相切的条件可得|PM|²=|OP|²-|OM|²求出|PQ|，可得结论．

解答 解：（1）由题意可得c=1，a=3，

即有b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$=1（|x₁|≤3）
∴|PF₂|²=（x₁-1）²+y₁²=$\frac{1}{9}$（x₁-9）²，
∴|PF₂|=3-$\frac{1}{3}$x₁，
连接OM，OP，由相切条件知：
|PM|²=|OP|²-|OM|²=x₁²+y₁²-8=$\frac{1}{9}$x₁²，
∴|PM|=$\frac{1}{3}$x₁，
∴|PF₂|+|PM|=3，
同理可求|QF₂|+|QM|=3，
∴|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=6．
即有△PF₂Q的周长为定值6．

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程和性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的性质是解答本题的关键．