Question

16．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PA=AD，点E为AB中点，点F在线段PD上，且PF：FD=1：3．
（1）证明平面PED⊥平面FAB；
（2）若PD=4，求三棱锥P-FAB的体积．

Answer 1

分析 （1）连接BD，可得AB⊥DE，由PD⊥平面ABCD，可得AB⊥PD，即可证明AB⊥平面PED，结合AB?平面FAB，从而可证平面PED⊥平面FAB．
（2）由PD=4，可求PF，FD，DE的值，进而可求V_P-ABD，V_F-ABD的值，利用V_P-ABF=V_P-ABD-V_F-ABD即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
证明：（1）连接BD，
∵AB=AD，∠DAB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵E是AB中点，
∴AB⊥DE，…2分
∵PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴AB⊥PD，
∵DE?平面PED，PD?平面PED，DE∩PD=D，
∴AB⊥平面PED，…4分
∵AB?平面FAB，
∴平面PED⊥平面FAB．…6分
（2）∵PD=4，可求：PF=1，FD=3，DE=2$\sqrt{3}$，…10分
∴△DAB的面积为4$\sqrt{3}$，
∴V_P-ABD=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，V_F-ABD=4$\sqrt{3}$，…11分
∴V_P-ABF=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-4$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．…12分

点评 本题主要考查了平面与平面垂直的判定，三棱锥体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．