Question

6．如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB、SAC均为边长为$\sqrt{2}$等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）欲证SO⊥平面ABC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证SO与平面ABC内两相交直线垂直，而SO⊥BC，SO⊥AO，又AO∩BO=O，满足定理条件；
（2）以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz，求出两法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 证明：（Ⅰ）∵侧面SAB、SAC均为边长为$\sqrt{2}$等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点，
∴$OA=OB=OC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}SA$=1，且AO⊥BC，
又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，
且$SO=\frac{{\sqrt{2}}}{2}SA$=1，从而OA²+SO²=SA²．
即△SOA为直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．
∴SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，
建立如图的空间直角坐标系O-xyz．
∵$OA=OB=OC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}SA$=1
∴B（1，0，0），则C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．
SC的中点$M（{-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}}）$，$\overrightarrow{MO}=（{\frac{1}{2}，0，-\frac{1}{2}}），\overrightarrow{MA}=（{\frac{1}{2}，1，-\frac{1}{2}}），\overrightarrow{SC}=（-1，0，-1）$．
∴$\overrightarrow{MO}•\overrightarrow{SC}=0，\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{SC}=0$．
故$MO⊥SC，MA⊥SC，＜\overrightarrow{MO}，\overrightarrow{MA}＞$等于二面角A-SC-B的平面角．
$cos＜\overrightarrow{MO}，\overrightarrow{MA}＞=\frac{{\overrightarrow{MO}•\overrightarrow{MA}}}{{|{\overrightarrow{MO}}|•|{\overrightarrow{MA}}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
故二面角A-SC-B的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查直线与平面垂直，以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．建立坐标系利用向量法是解决二面角的常用方法．