Question

16．已知数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁a₂…a₁₈=2¹⁸．
（1）若a₅+a₁₄=5，求数列{a_n}的公比q；
（2）若公比q=2，求a₃a₆a₉…a₁₈的值．

Answer 1

分析 （1）由等比数列通项公式得a₁a₂…a₁₈=（a₅•a₁₄）⁹=2¹⁸，从而a₅•a₁₄=4，由此能求出公比q．
（2）由等比数列的通项公式得${{a}_{1}}^{18}$=$\frac{{2}^{18}}{{2}^{（9×17）}}$=2^-135，S=a₃a₆a₉…a₁₈=a₁⁶•2¹⁷，由此能求出a₃a₆a₉…a₁₈的值．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，
且a₁a₂…a₁₈=2¹⁸，a₅+a₁₄=5，
∴a₁a₂…a₁₈=（a₅•a₁₄）⁹=2¹⁸，
∴a₅•a₁₄=4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{5}+{a}_{14}=5}\\{{a}_{5}•{a}_{14}=4}\end{array}\right.$，得a₅=1，a₁₄=4，或a₁₄=1，a₅=4，
当a₅=1，a₁₄=4时，${q}^{9}=\frac{{a}_{14}}{{a}_{5}}=4$，解得q=$\root{9}{4}$．
当a₁₄=1，a₅=4时，${q}^{9}=\frac{{a}_{14}}{{a}_{5}}$=$\frac{1}{4}$，解得q=$\root{9}{\frac{1}{4}}$．
（2）∵数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁a₂…a₁₈=2¹⁸，公比q=2，
∴a₁a₂…a₁₈=a₁¹⁸•2^（9×17）=2¹⁸，${{a}_{1}}^{18}$=$\frac{{2}^{18}}{{2}^{（9×17）}}$=2^-135，
∴S=a₃a₆a₉…a₁₈=a₁⁶•2¹⁷，
S³=a₁¹⁸•2^（17×3）=2^-135•2⁵¹=2^-84，
∴S=2^-28．
∴a₃a₆a₉•…•a₁₈=2^-28．

点评 本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．