Question

14．当x＞0时，证明不等式1n（1+x）＞x-$\frac{1}{2}$x²成立．

Answer 1

分析 令f（x）=ln（1+x）+$\frac{1}{2}$x²-x，（x＞0），求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而证出结论．

解答 证明：令f（x）=ln（1+x）+$\frac{1}{2}$x²-x，（x＞0），
则f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+x-1=$\frac{{x}^{2}}{x+1}$＞0，
∴f（x）在（0，+∞）递增，
∴f（x）＞f（0）=0，
∴当x＞0时，不等式1n（1+x）＞x-$\frac{1}{2}$x²成立

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．