Question

4．已知数列{a_n}中，a₁=1，（n+1）a_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）（n∈N⁺），则数列{a_n}的通项公式是（　　）

• A． a_n=$\frac{n+1}{3}$
• B． a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{n+2}{4}，n≥2}\end{array}\right.$
• C． a_n=$\frac{n+1}{2}$
• D． a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{n+1}{3}，n≥2}\end{array}\right.$

Answer 1

分析 设数列{a_n}的前n项和为S_n，根据a₁=1，（n+1）a_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）=2S_n（n∈N⁺），可得a₂=1，当n≥2时，可得2a_n=（n+1）a_n+1-na_n，化为：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n+1}$．再利用“累乘求积”方法即可得出．

解答 解：设数列{a_n}的前n项和为S_n，∵a₁=1，（n+1）a_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）=2S_n（n∈N⁺），
∴a₂=1，当n≥2时，na_n=2S_n-1，可得2a_n=（n+1）a_n+1-na_n，化为：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n+1}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•{a}_{2}$=$\frac{n+1}{n}•\frac{n}{n-1}$•…•$\frac{4}{3}×$1=$\frac{n+1}{3}$，
综上可得：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{n+1}{3}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列的递推关系、“累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．