Question

15．已知圆C₁：x²+y²=9与圆C₂：（x-3）²+（y-4）²=r²（r＞0）相外切．
（1）若圆C₂关于直线l：$\frac{ax}{9}$-$\frac{by}{12}$=1对称，求由点M（a，b）向圆C₂所作的切线长的最小值；
（2）若直线l₁过点A（1，0），与圆C₂相交于P、Q两点．且S${\;}_{△{C}_{2}PQ}$=2求此时直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）先求出r=2，a-b=3，再求由点M（a，b）向圆C₂所作的切线长的最小值；
（2）求出圆心到直线的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，即可求此时直线l₁的方程．

解答 解：∵圆C₁：x²+y²=9与圆C₂：（x-3）²+（y-4）²=r²（r＞0）相外切，
∴5=3+r，∴r=2．
∵圆C₂关于直线l：$\frac{ax}{9}$-$\frac{by}{12}$=1对称，
∴a-b=3，
由点M（a，b）向圆C₂所作的切线长=$\sqrt{（a-3）^{3}+（b-4）^{2}-4}$=$\sqrt{2（b-2）^{2}+4}$，
∴b=2时，由点M（a，b）向圆C₂所作的切线长的最小值为2；
（2）∵S${\;}_{△{C}_{2}PQ}$=2，
∴C₂P⊥C₂Q，
∴圆心到直线的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
设直线l的方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∴$\frac{|2k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=1或7，
∴直线l的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0．

点评 本题考查直线与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．