Question

7．已知F₁（-1，0），F₂（1，0）为椭圆C的左、右焦点，且点Q（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（3，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，请问：直线AE与x轴是否相交于定点？若是，求出该定点；若否，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），由题意利用椭圆定义及性质求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由题意知直线PB的斜率k（k≠0）存在，直线PB的方程为y=k（x-3），与椭圆联立得到（2+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线斜率，结合题设条件能求出直线AE与x轴相交于定点（1，0）．

解答 解：（1）设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）．
由题意，2a=|QF₁|+|QF₂|=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{2}{\sqrt{3}}）^{2}}$+$\frac{2}{\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$，…（2分）
解得a=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=3-1=2．
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．…（4分）
（2）由题意知直线PB的斜率k（k≠0）存在，直线PB的方程为y=k（x-3）．
设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．由题意A（x₁，-y₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：（2+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0，…（6分）
由题意，判别式△=（-18k²）²-4（2+3k²）（27k²-6）＞0，
由韦达定理，得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{18{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{27{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，…（7分）
若直线AE与x轴相交于定点M（m，0），则A（x₁，-y₁）、M（m，0）、E（x₂，y₂）三点共线．
从而k_AM=k_AE，即$\frac{{y}_{1}}{m-{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，…（8分）
解得m=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{1}}$+x₁=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$，…（9分）
∴$m=\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}•k（{x}_{1}-3）+{x}_{1}•k（{x}_{2}-3）}{k（{x}_{2}-3）+k（{x}_{1}-3）}$=$\frac{2{x}_{2}{x}_{1}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-6}$…（11分）
=$\frac{2•\frac{27{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}-3•\frac{18{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}}{\frac{18{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}-6}$=1．…（13分）
∴直线AE与x轴相交于定点（1，0）．…（14分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与x轴交点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线斜率等知识点的合理运用．