Question

14．设P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的一点，F₁，F₂是该椭圆的两个焦点，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，则△F₁PF₂的面积为3$\sqrt{3}$，△F₁PF₂内切圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F₁F₂|，设出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面积公式求解．由S=$\frac{1}{2}（a+b+c）r$，能求出△F₁PF₂内切圆半径．

解答 解：∵a=5，b=3，∴c=4，即|F₁F₂|=8．
设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
则根据椭圆的定义可得：t₁+t₂=10①，
在△F₁PF₂中∠F₁PF₂=60°，
∴根据余弦定理可得：t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=8²②，
由①²-②得t₁•t₂=12，
∴由正弦定理可得：S△F1PF2=$\frac{1}{2}$t1t2•sin60°=$\frac{1}{2}$×12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．
∴△F₁PF₂的面积3$\sqrt{3}$．
设△F₁PF₂内切圆半径为r，
∵△F₁PF₂的周长为L=10+8=18，面积为S=$3\sqrt{3}$，
∴r=$\frac{S}{\frac{1}{2}L}$=$\frac{3\sqrt{3}}{9}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的标准方程、椭圆的简单性质，以及熟练掌握解三角形的有关知识．