Question

10．已知圆M：（x+$\sqrt{7}$）²+y²=64，定点N（$\sqrt{7}$，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G 在线段MP上，且满足$\overrightarrow{NP}$=2$\overrightarrow{NQ}$，$\overrightarrow{GQ}$•$\overrightarrow{NP}$=0，则点G的轨迹方程是（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$
• B． $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{57}=1$
• C． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$
• D． $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{57}=1$

Answer 1

分析 由已知得Q为PN的中点且GQ⊥PN，|GN|+|GM|=|MP|=8，从而得到G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=4，半焦距c=$\sqrt{7}$，由此能求出点G的轨迹方程．

解答 解：∵圆$M：{（x+\sqrt{7}）^2}+{y^2}=64$，定点$N（\sqrt{7}，0）$，点P为圆M上的动点，
∴M（-$\sqrt{7}$，0），PM=8，
∵点Q在NP上，$点G在线段MP上，且满足\overrightarrow{NP}=2\overrightarrow{NQ}$，$\overrightarrow{GQ}•\overrightarrow{NP}$=0，
∴Q为PN的中点且GQ⊥PN，∴GQ为PN的中垂线，
∴|PG|=|GN|，∴|GN|+|GM|=|MP|=8，
故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=4，半焦距c=$\sqrt{7}$，
∴短半轴长b=$\sqrt{16-7}$=3，
∴点G的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
故选：A．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆定义和性质的合理运用．