Question

20．（1）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，若输出的s的取值范围记为集合A，求集合A；
（2）命题p：a∈A，其中集合A为第（1）题中的s的取值范围；命题q：函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+x+a$有极值；若p∧q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由程序框图可知，分段函数的对称轴为t=2，在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，解得s_max=3，s_min=2，即可解得集合A．
（2）函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+x+a$有极值，等价于f′（x）=x²+2ax+1=0有两个不相等的实数根，即△=（2a）²-4＞0，由此能求出命题p：a＜-1或a＞1，利用p∧q为真命题，建立不等式组，即可解得实数a的取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由程序框图可知，当-1≤t＜1时，s=2t，则s∈[-2，2），
当1≤t≤3时，s=-（t-2）²+3，
∵该函数的对称轴为t=2，
∴该函数在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减．
∴s_max=3，s_min=2，
∴s∈[2，3]．
综上知，s∈[-2，3]，集合A=[-2，3]．…（4分）
（2）∵函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+x+a$有极值，且f′（x）=x²+2ax+1，
∴f′（x）=0有两个不相等的实数根，即△=（2a）²-4＞0，解得a＜-1或a＞1，
即命题p：a＜-1或a＞1．…（8分）
∵p∧q为真命题，
∴则$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1或a＞1}\\{-2≤a≤3}\end{array}\right.$，解得-2≤a＜-1或1＜a≤3；
∴实数a的取值范围是[-2，-1）∪（1，3]．…（12分）

点评 本题主要考查了选择结构的程序框图，考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．