Question

12．已知函数f（x）=2|x-2|+ax（x∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）当f（x）有最小值时，求a的取值范围；
（3）若函数h（x）=f（sinx）-2存在零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，求出函数f（x）的表达式，判断函数的单调性即可求f（x）的最小值；
（2）当f（x）有最小值时，利用分段函数的性质建立不等式关系即可求a的取值范围；
（3）利用换元法，结合函数与方程之间的关系进行转化，求a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=2|x-2|+x=$\left\{\begin{array}{l}{3x-4，}&{x≥2}\\{-x+4，}&{x＜2}\end{array}\right.$…（2分）
所以，f（x）在（-∞，2）递减，在[2，+∞）递增，
故最小值为f（2）=2； …（4分）
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a+2）x-4，}&{x≥2}\\{（a-2）x+4，}&{x＜2}\end{array}\right.$，…（6分）
要使函数f（x）有最小值，需$\left\{\begin{array}{l}{a+2≥0}\\{a-2≤0}\end{array}\right.$，
∴-2≤a≤2，…（8分）
故a的取值范围为[-2，2]．　…（9分）
（3）∵sinx∈[-1，1]，∴f（sinx）=（a-2）sinx+4，
“h（x）=f（sinx）-2=（a-2）sinx+2存在零点”等价于“方程（a-2）sinx+2=0有解”，
亦即$sinx=-\frac{2}{a-2}$有解，
∴$-1≤-\frac{2}{a-2}≤1$，…（11分）
解得a≤0或a≥4，…（13分）
∴a的取值范围为（-∞，0]∪[4，+∞）…（14分）

点评 本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质，是解决本题的关键．