Question

12．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直线l与椭圆交于与椭圆相交于A、B两点，点P（1，1）是线段AB的中点，则直线l的斜率为（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． -$\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 根据题意，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入椭圆的方程并将得到的等式作差可得：$\frac{1}{4}$（x₁²-x₂²）+$\frac{1}{3}$（y₁²-y₂²）=0．由P为AB的中点，利用中点的坐标公式算出x₁+x₂=y₁+y₂=2，代入前面的等式并利用直线的斜率公式，即可算出直线l的斜率．

解答 解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵A、B两点在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$=1，
两式相减可得：$\frac{1}{4}$（x₁²-x₂²）+$\frac{1}{3}$（y₁²-y₂²）=0，
化简得k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$．
又∵点P（1，1）是AB的中点，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
因此可得直线l的斜率k=-$\frac{3×2}{4×2}$=-$\frac{3}{4}$．
故选：C．

点评 本题给出椭圆内一点P，求经过点P且以它为中点的椭圆的弦所在直线的方程．着重考查了椭圆的标准方程与简单性质、直线的斜率公式和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．根据椭圆的方程，利用直线的斜率公式并采用“设而不求”的方法来解，是解决本题的关键所在．