Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距是2，离心率是$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=x+1与椭圆C相交于点P，Q，试求出线段PQ的中点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；
（2）将直线方程y=x+1代入椭圆方程3x²+4y²=12，运用韦达定理和中点坐标公式，即可得到所求M的坐标．

解答 解：（1）由题意可得2c=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
可得c=1，a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）将直线方程y=x+1代入椭圆方程3x²+4y²=12，
可得7x²+8x-8=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，
可得PQ的中点的横坐标为$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4}{7}$，
即有纵坐标为1-$\frac{4}{7}$=$\frac{3}{7}$，
则线段PQ的中点M的坐标为（-$\frac{4}{7}$，$\frac{3}{7}$）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于基础题．