Question

8．已知P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1和双曲线x²-y²=2的一个交点，若F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，则cos∠F₁PF₂=90°．

Answer 1

分析 不妨设点P在第一象限，|F₁F₂|=4．则|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{6}$，|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{2}$，可得|PF₁|，|PF₂|．再利用余弦定理即可得出．

解答 解：不妨设点P在第一象限，
|F₁F₂|=4．
则|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{6}$，|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{2}$，
∴|PF₁|=$\sqrt{6}$$+\sqrt{2}$，|PF₂|=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=$\frac{（\sqrt{6}+\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}-{4}^{2}}{2（\sqrt{6}+\sqrt{2}）（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}$=0，
∴∠F₁PF₂=90°．
故答案为：90°．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的定义、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．