Question

18．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F₁，F₂，上顶点为B点，右焦点F₂到直线F₁B的距离为$\sqrt{3}$，椭圆M的离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）过原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆M交于P、Q两点，问：点O到直线PQ的距离是否为定值？若是，试求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）右焦点F₂到直线F₁B的距离为$\frac{2bc}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出a，b，即可求点M的轨迹方程；
（2）分类讨论，直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消去y，利用OP⊥OQ，可得x₁x₂+y₁y₂=0，整理得5m²=4（1+k²），即可得出结论．

解答 解：（1）直线F₁B的方程为bx-cy+bc=0，右焦点F₂到直线F₁B的距离为$\frac{2bc}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
∴2bc=$\sqrt{3}$a，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴b=1，a=2
∴椭圆M的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）点O到直线PQ的距离为定值，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
①当直线PQ的斜率不存在时，则△POQ为等腰直角三角形，不妨设直线OP：y=x
将y=x代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，解得x=±$\frac{2}{5}\sqrt{5}$
所以点O到直线PQ的距离为d=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$；
②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m与$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
联立消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$
因为OP⊥OQ，所以x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
即（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
所以（1+k²）$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+km（-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$）+m²=0，整理得5m²=4（1+k²），
所以点O到直线PQ的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$
综上可知点O到直线PQ的距离为定值$\frac{2}{5}\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的常用知识，要熟练掌握．