Question

3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（0，1），离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，长轴的端点为A₁，A₂，动直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆相切于点P，直线PA₁，PA₂的斜率分别为k₁，k₂．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{k}$为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，从而求椭圆的方程；
（2）由题意知，A₁（-$\sqrt{3}$，0），A₂（$\sqrt{3}$，0），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$化简可得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，从而可得3k²+1=m²，P（-$\frac{3km}{3{k}^{2}+1}$，$\frac{m}{3{k}^{2}+1}$），从而化简求解即可．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（0，1），
∴b=1，∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$；
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）证明：由题意知，A₁（-$\sqrt{3}$，0），A₂（$\sqrt{3}$，0），
联立方程得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
化简可得，（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∵动直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆相切于点P，
∴△=（6km）²-4（3k²+1）（3m²-3）=0，
∴3k²+1=m²，P（-$\frac{3km}{3{k}^{2}+1}$，$\frac{m}{3{k}^{2}+1}$），
∴k₁+k₂=$\frac{\frac{m}{3{k}^{2}+1}-0}{\frac{-3km}{3{k}^{2}+1}+\sqrt{3}}$+$\frac{\frac{m}{3{k}^{2}+1}-0}{\frac{-3km}{3{k}^{2}+1}-\sqrt{3}}$
=$\frac{m}{-3km+3\sqrt{3}{k}^{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{m}{-3km-3\sqrt{3}{k}^{2}-\sqrt{3}}$
=$\frac{-6k{m}^{2}}{9{k}^{2}{m}^{2}-3（3{k}^{2}+1）^{2}}$，
∴$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{k}$=$\frac{-6{m}^{2}}{9{k}^{2}{m}^{2}-3（3{k}^{2}+1）^{2}}$
=$\frac{-6}{9{k}^{2}-3{m}^{2}}$=$\frac{-6}{-3}$=2，
故$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{k}$为定值．

点评 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及判断，同时考查了学生的化简运算能力的应用．