Question

12．设点M是等腰直角三角形ABC的斜边BA的中点，P是直线BA上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，求证：
（1）ME=MF；
（2）ME⊥MF．

Answer 1

分析 （1）以等腰直角三角形的直角顶点C为坐标原点O，以OA为单位长，以直线OA．OB分别为x轴．y轴建立平面直角坐标系，由此能证明ME=MF．
（2）分别求出ME²+MF²=${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}$，$E{F^2}={x_0}^2+{y_0}^2$，由此能证明ME⊥MF．

解答 证明：（1）如图，以等腰直角三角形的直角顶点C为坐标原点O，
以OA为单位长，以直线OA．OB分别为x轴．y轴建立平面直角坐标系，
则A（1，0），B（0，1），$M（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$…（2分）
设P（x₀，y₀），则有x₀+y₀=1，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴E（x₀，0），F（0，y₀），$ME=\sqrt{{{（{x_0}-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{1}{4}}$，$MF=\sqrt{\frac{1}{4}+{{（\frac{1}{2}-{y_0}）}^2}}$，
∵${x}_{0}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-{y}_{0}$，∴ME=MF．…（7分）
（2）∵ME²+MF²=（${x}_{0}-\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$+（$\frac{1}{2}$-y₀）²=${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}$，
$E{F^2}={x_0}^2+{y_0}^2$，
∴ME²+MF²=EF²，∴ME⊥MF．…（12分）

点评 本题考查线段长相等和两直线垂直的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意合理建立平面直角坐标系．