Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD=4AP，∠BAD=∠PAD=60°，E，F分别是AP，AD的中点．
（1）求证：平面BEF⊥平面PAD；
（2）求二面角P-BE-F的正切值．

Answer 1

分析 （1）通过∠BAD=60°与点F是AD的中点可知BF⊥AD，进而利用面面垂直的判定定理即得结论；
（2）通过（1）建系如图，设AP=1可知AD=AB=4，进而可求出B、E、P三点坐标，通过求出平面BEF、平面PBE的法向量，利用法向量所成夹角与二面角的关系，计算即得结论．

解答 （1）证明：∵∠BAD=60°，点F是AD的中点，
∴BF⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴BF⊥平面PAD，
∴平面BEF⊥平面PAD；
（2）解：由（1）建系如图，设AP=1，则AD=AB=4，
∵F是AD的中点，即AF=2，
∴BF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=$2\sqrt{3}$，即B（0，$2\sqrt{3}$，0），
∵AP=$\frac{1}{2}$AF，且∠PAD=60°，
∴∠APF=90°，
过点P在xoz平面内作PQ⊥x轴，交点为Q，
则PQ=PAsin∠PAD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AQ=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$，QF=AF-AQ=$\frac{3}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
又∵E为AP的中点，A（2，0，0），
∴E（$\frac{7}{4}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
设平面PBE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（x，y，z）•（\frac{7}{4}，-2\sqrt{3}，\frac{\sqrt{3}}{4}）=0}\\{（x，y，z）•（\frac{3}{2}，-2\sqrt{3}，\frac{\sqrt{3}}{2}）=0}\end{array}\right.$，
化简得：$x=\sqrt{3}z$，
取z=1，则$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，1），
设平面BEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（x，y，z）•（\frac{7}{4}，0，\frac{\sqrt{3}}{4}）=0}\\{（x，y，z）•（0，2\sqrt{3}，0）=0}\end{array}\right.$，
化简得：$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{7x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
取z=$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{3}{7}$，0，$\sqrt{3}$），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\frac{3\sqrt{3}}{7}+0+\sqrt{3}}{\sqrt{3+1+1}•\sqrt{\frac{9}{49}+0+3}}$=$\frac{2\sqrt{65}}{65}$，
记二面角P-BE-F的大小为α，则cosα=$\frac{2\sqrt{65}}{65}$，
又∵sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\sqrt{1-\frac{4}{65}}$=$\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{65}}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{2\sqrt{65}}{65}$•$\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{61}}$=$\frac{2\sqrt{61}}{61}$，
即二面角P-BE-F的正切值为$\frac{2\sqrt{61}}{61}$．

点评 本题考查空间中的位置关系及二面角的计算，考查数形结合能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．