Question

13．已知倾斜角为45°的直线l过抛物线y²=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则△OAB（其中O为坐标原点）的面积为（　　）

• A． 2
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $3\sqrt{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 先确定抛物线的焦点坐标，可得直线l的方程，与抛物线方程联立，求弦AB的长，再求出原点到直线的距离，即可求得△OAB的面积．

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点F（1，0），
∵直线l：y=x+b经过抛物线的焦点，
∴b=-1，
∴直线l：y=x-1，
由抛物线的定义：|AB|=x_A+x_B+2，
将直线与抛物线方程联立，消去y可得x²-6x+1=0，
∴x_A+x_B=6，
∴|AB|=8，
∵原点到直线的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴S=$\frac{1}{2}×8×\frac{1}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是求出弦AB的长．