Question

6．如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M是正方体对角线D₁B的中点，点N在棱CC₁上．
（1）当2|C₁N|=|NC|时，求|MN|；
（2）当点N在棱CC₁上移动时，求|MN|的最小值并求此时的N点坐标．

Answer 1

分析 （1）求出M（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），N（0，1，$\frac{2}{3}$），由此能求出|MN|．
（2）当MN是BD₁和CC₁的公垂线时，|MN|取最小值，由此得到当N是CC₁中点时，|MN|取最小值．

解答 解：（1）∵如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M是正方体对角线D₁B的中点，
点N在棱CC₁上，2|C₁N|=|NC|，
∴D₁（0，0，1），B（1，1，0），M（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），N（0，1，$\frac{2}{3}$），
∴|MN|=$\sqrt{（0-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{2}{3}-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{19}}{6}$．
（2）∵点M是正方体对角线D₁B的中点，点N在棱CC₁上移动时，
∴当MN是BD₁和CC₁的公垂线时，|MN|取最小值，
∴当N是CC₁中点时，|MN|取最小值，
此时N（0，1，$\frac{1}{2}$），|MN|_min=$\sqrt{（0-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线段长的求法，考查两点间距离的最小值及相应的点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．