Question

11．若函数f（x）满足f′（x）-f（x）=2xe^x，f（0）=1，其中f′（x）为f（x）的导函数，则当x＞0时，$\frac{f′（x）}{f（x）}$的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 利用函数f（x）满足f′（x）-f（x）=2xe^x，f（0）=1，求出f（x），再代入利用基本不等式即可得出结论．

解答 解：由题意，（$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$）′=2x，
∴$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=x²+b，
∴f（x）=（x²+b）e^x，
∵f（0）=1，∴b=1，
∴f（x）=（x²+1）e^x，
f′（x）=（x+1）²e^x，
∴当x＞0时，$\frac{f′（x）}{f（x）}$=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$≤2，当且仅当x=1时取等号，
∴当x＞0时，$\frac{f′（x）}{f（x）}$的最大值为2．
故选：B．

点评 本题考查导数知识的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，确定f（x）是关键．