Question

1．设函数f（x）=|f₁（x）-f₂（x）|，其中幂函数f₁（x）的图象过点（2，$\sqrt{2}$），且函数f₂（x）=ax+b（a，b∈R）．
（1）当a=0，b=1时，写出函数f（x）的单调区间；
（2）设μ为常数，a为关于x的偶函数y=log₄[（$\frac{1}{2}$）^x+μ•2^x]（x∈R）的最小值，函数f（x）在[0，4]上的最大值为u（b），求函数u（b）的最小值；
（3）若对于任意x∈[0，1]，均有|f₂（x）|≤1，求代数式（a+1）（b+1）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出幂函数的解析式以及一次函数的解析式，化简函数f（x），然后求解单调区间．
（2）利用偶函数求出μ，求出最小值a，求出函数的最大值的表达式，然后再求解最大值的表达式的最小值．
（3）利用已知条件，转化求出b的范围，然后通过基本不等式以及函数的最值，通过分类讨论求解即可．

解答 解：（1）幂函数f₁（x）的图象过点（2，$\sqrt{2}$），可得$\sqrt{2}={2}^{a}$，a=$\frac{1}{2}$．f₁（x）=$\sqrt{x}$，函数f₂（x）=1．
函数f（x）=|$\sqrt{x}$-1|=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}-1，x≥1\\ 1-\sqrt{x}，0≤x＜1\end{array}\right.$，函数的单调增区间为：[1，+∞），单调减区间：[0，1）．
（2）y=log₄[（$\frac{1}{2}$）^x+μ•2^x]是偶函数，可得log₄[（$\frac{1}{2}$）^x+μ•2^x]=log₄[（$\frac{1}{2}$）^-x+μ•2^-x]，
可得μ=1．
∴y=log₄[（$\frac{1}{2}$）^x+2^x]，（$\frac{1}{2}$）^x+2^x≥2，当且仅当x=0，函数取得最小值a=$\frac{1}{2}$．f₁（x）=$\sqrt{x}$，函数f₂（x）=$\frac{1}{2}x$+b．函数f（x）=|f₁（x）-f₂（x）|=|$\sqrt{x}$$-\frac{1}{2}x$-b|，x∈[0，4]，
令h（x）=$\sqrt{x}$$-\frac{1}{2}x$-b，x∈[0，4]，h′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}$，令$\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}$=0，解得x=1，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0
函数是增函数，当x∈（1，4）时，h′（x）＜0，函数是减函数．
h（x）的极大值为：h（1）=$\frac{1}{2}-b$，最小值为h（0）=h（4）=-b，
函数f（x）在[0，4]上的最大值为u（b）=$\left\{\begin{array}{l}b，b＞\frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}-b，b≤\frac{1}{4}\end{array}\right.$，
函数u（b）的最小值：$\frac{1}{4}$．
（3）对于任意x∈[0，1]，均有|f₂（x）|≤1，即对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，
当a＞0时，显然b≥1不成立，
①当1＞b≥0时，对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，0≤a≤1，
可得0＜a+b≤1，则（a+1）（b+1）≤$（{\frac{a+1+b+1}{2}）}^{2}$≤$\frac{9}{4}$，此时a=b=$\frac{1}{2}$．
（a+1）（b+1）∈[1，$\frac{9}{4}$]．
②b∈[-$\frac{1}{2}$，0），对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，
转化为：0≤a+b≤1，则（a+1）（b+1）∈[$\frac{3}{4}$，2），a=1，b=0时（a+1）（b+1）取最大值2．a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$
，（a+1）（b+1）取得最小值$\frac{3}{4}$．
③b∈[-1，-$\frac{1}{2}$），对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，
转化为：x=0，|b|≤1恒成立．-1＜a+b≤1，
（a+1）＞0，（b+1）＞0，则（a+1）（b+1）≤$（{\frac{a+1+b+1}{2}）}^{2}$，$\frac{1}{4}$≤$（{\frac{a+1+b+1}{2}）}^{2}$≤$\frac{9}{4}$，
则（a+1）（b+1）∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{9}{4}$]，
④当b＜-1时，对于任意x∈[0，1]，|ax+b|≤1，不恒成立．
当a=0时，可得|b|≤1，（a+1）（b+1）∈[0，2]．
当a＜0时，如果|b|＞1，对于任意x∈[0，1]，不恒有|ax+b|≤1，
则|b|≤1，当0≤b≤1时，a∈[-1，0）对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，
a+1∈[0，1），b+1∈[1，2]．（a+1）（b+1）∈[0，2）．
-1＜b＜0，可得|a+b|≤1．可得-1≤a+b≤1，a+1∈[0，1），b+1∈（0，1）．
（a+1）（b+1）∈（0，1）．
综上：代数式（a+1）（b+1）的取值范围：[0，$\frac{9}{4}$]．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值，分类讨论以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．