Question

16．如图（1）示，在梯形BCDE中，BC∥DE，BA⊥DE，且EA=DA=AB=2CB=2，如图（2）沿AB将四边形ABCD折起，使得平面ABCD与平面ABE垂直，M为CE的中点．

（Ⅰ） 求证：BC∥面DAE；
（Ⅱ） 求证：AM⊥BE；
（Ⅲ） 求点D到平面BCE的距离．

Answer 1

分析 （1）由BC∥DA，能证明BC∥面DAE．
（2）推导出DA⊥平面ABE，CB⊥平面ABE，取EB的中点N，连接AN、MN，则MN∥BC，由此能证明AM⊥BE．
（3）以A为原点，AE为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面BCE的距离．

解答 证明：（1）∵在梯形BCDE中，BC∥DE，∴BC∥DA
∵BC?面DAE，DA?面DAE，
∴BC∥面DAE．
（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，由已知条件可知，
DA⊥AB，AB⊥BC，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴DA⊥平面ABE，CB⊥平面ABE．
取EB的中点N，连接AN、MN，
在△ABE中，∵AE=AB，N为EB的中点，
∴AN⊥BE．在△EBC中，
∵EM=MC，EN=NB，∴MN∥BC，
又∵CB⊥平面ABE，
∴MN⊥平面ABE，∴MN⊥BE．
又∵AN∩MN=N，∴BE⊥平面AMN，
又∵AM?平面AMN，∴AM⊥BE．
解：（3）以A为原点，AE为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意得：D（0，0，2），B（0，2，0），C（0，2，1），E（2，0，0），
$\overrightarrow{BD}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{BC}$=（0，0，1），$\overrightarrow{BE}$=（2，-2，0），
设平面BCE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=2x-2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
∴点D到平面BCE的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．