Question

4．在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，点E位PC的中点
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）求E到平面PBD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推导出PD⊥底面ABCD，BC⊥BD，由此能证明BC⊥平面PBD．
（Ⅱ）由 BC⊥平面PBD，能求出E到平面PBD的距离．

解答 证明：（Ⅰ）∵侧面PCD⊥底面ABCD于CD，PD?面PCD，PD⊥CD，
∴PD⊥底面ABCD，
∵BC?面ABCD，∴PD⊥BC
在Rt△ABD中，AB=AD=1，故$BD=\sqrt{2}$，
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，故$BC=\sqrt{2}$
由BC²+BD²=CD²，得BC⊥BD，
又∵PD⊥BC，PD∩DB=D，
∴BC⊥平面PBD．…（6分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知 BC⊥平面PBD，
E为平面PBD的斜线段PC的中点，
故E到平面PBD的距离$d=\frac{1}{2}|BC|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．