Question

5．如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，线段B₁D₁上有两个动点E、F，且EF=1，则下列结论中错误的是（　　）

• A． EF∥平面ABCD
• B． AC⊥BE
• C． 三棱锥A-BEF体积为定值
• D． △BEF与△AEF面积相等

Answer 1

分析 在A中，由EF∥BD，得EF∥平面ABCD；在B中，由AC⊥平面BB₁D₁D，得AC⊥BE；在C中，由EF=1，S_△BEF=1，得三棱锥A-BEF体积为定值；在D中，△BEF与△AEF底都是EF，但高不相等，故面积不相等．

解答 解：在A中：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，线段B₁D₁上有两个动点E、F，
∴EF∥BD，BD?平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，故A正确；
在B中：如图，正方体中，AC⊥BD，AC⊥BB₁，BD∩BB₁=B，
∴AC⊥平面BB₁D₁D．
又BE?平面BB₁D₁D，∴AC⊥BE，故B正确；
在C中：∵EF=1，∴${S}_{△BEF}=\frac{1}{2}×EF×B{B}_{1}$=$\frac{1}{2}×1×2$=1，
设AC∩BD=O，则AO⊥平面BEF，AO=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，
∴三棱锥A-BEF体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△BEF}×AO$=$\frac{1}{3}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴三棱锥A-BEF体积为定值，故C正确；
在D中：${S}_{△BEF}=\frac{1}{2}×EF×B{B}_{1}$=$\frac{1}{2}×1×2$=1，
${S}_{△AEF}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△BEF与△AEF面积不相等，故D错误．
故选：D．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．