Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求∠ADC；
（2）求证：BC⊥PC；
（3）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）过D作BC的平行线DE，交AB于E，由已知能求出∠DAE=45°，从而能求出∠ADC．
（2）推导出PD⊥BC，BC⊥DC，由此能证明PC⊥BC．
（3）连结AC，设点A到平面PBC的距离为h，由等体积法能求出点A到平面PBC的距离．

解答 解：（1）过D作BC的平行线DE，交AB于E，
∵在四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，
∴AE=DE=1，DE⊥AE，
∴∠DAE=45°，
∴∠ADC=135°．
证明：（2）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，
由∠BCD=90°，得BC⊥DC，
又PD∩DC=D，PD?平面PCD，DC?平面PCD，
∴BC⊥平面PCD，
∵PC?平面PCD，
∴PC⊥BC．
解：（3）连结AC，设点A到平面PBC的距离为h，
因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°，
从而由AB=2，BC=1，得△ABC的面积S_△ABC=1，
由PD⊥平面ABCD及PD=1，
得三棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PD=\frac{1}{3}$，
∵PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，
∴PD⊥DC，
又PD=DC=1，∴PC=$\sqrt{P{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积S_△PBC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由$V=\frac{1}{3}{S}_{△PBC}h$=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{2}}{2}•h$=$\frac{1}{3}$，解得h=$\sqrt{2}$，
∴点A到平面PBC的距离为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查角的求法，考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．