Question

15．若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为x=-4，则该椭圆被直线y=x+1截得的弦长为$\frac{24}{7}$．

Answer 1

分析 设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意，利用椭圆性质求出椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，由此能求出该椭圆被直线y=x+1截得的弦长．

解答 解：设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意，椭圆的焦点在x轴上，且2a=4，$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，
解得a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得7x²+8x-8=0，
设直线y=x+1与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，
∴该椭圆被直线y=x+1截得的弦长为：
|AB|=$\sqrt{2[（-\frac{8}{7}）^{2}+4×\frac{8}{7}]}$=$\frac{24}{7}$．
故答案为：$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查椭圆弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质和椭圆弦长公式的合理运用．