Question

6．若直线a上的所有点到两条直线m、n的距离都相等，则称直线a为“m、n的等距线”．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别是所在棱中点，M、N分别为EH、FG中点，则在直线MN，EG，FH，B₁D中，是“A₁D₁、AB的等距线”的条数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
∵E、F、G、H分别是所在棱中点，M、N分别为EH、FG中点，
∴M（1，0，1），N（1，2，1），E（2，0，1），G（0，2，1），
F（2，2，1），H（0，0，1），B₁（2，2，2），D（0，0，0），
A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），
则MN到AB的距离为AM=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{MN}$=（0，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（-1，0，-1）
异面直线A₁D₁与MN的公共法向量$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，2），
∴MN与A₁D₁的距离d=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}M}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2}$=1，∴直线MN不是“A₁D₁、AB的等距线”；
异面直线A₁D₁与G的公共法向量$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{E{A}_{1}}$=（0，0，1），
∴EG与A₁D₁的距离d₁=$\frac{|\overrightarrow{E{A}_{1}}•\overrightarrow{D{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{D{D}_{1}}|}$=$\frac{2}{2}$=1，
异面直线AB与G的公共法向量$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{EA}$=（0，0，-1），
∴EG与EA的距离d₂=$\frac{|\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{D{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{D{D}_{1}}|}$=$\frac{2}{2}$=1，
∴EG是“A₁D₁、AB的等距线”；
同理，FH是“A₁D₁、AB的等距线”；B₁D不是“A₁D₁、AB的等距线”．
故选：B．

点评 本题考查两直线的“等距线”的条数的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．