Question

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=4，A₁在底面ABC的射影为BC的中点E，D是B₁C₁的中点．
（1）证明：A₁D⊥平面A₁BC；
（2）求点B到平面A₁ACC₁的距离．

Answer 1

分析 （1）设E为BC的中点，推导出A₁E⊥AE，AE⊥BC，从而AE⊥平面A₁BC，再推导出A₁AED为平行四边形，由此能证明A₁D⊥平面A₁BC．
（2）推导出A₁E⊥BC，A₁C=A₁B，AE=BE，由${V_{{A_1}-ABC}}={V_{B-{A_1}AC}}$，能求出B到平面A₁ACC₁的距离．

解答 证明：（1）设E为BC的中点，由题意得A₁E⊥平面ABC，∴A₁E⊥AE．
∵AB=AC，∴AE⊥BC．
又A₁E∩BC=E，A₁E、BC?平面A₁BC
故AE⊥平面A₁BC．…（4分）
由D，E分别为B₁C₁、BC的中点，得DE∥B₁B，且DE=B₁B，
又AA₁∥BE，AA₁=BE
从而DE∥A₁A，且DE=A₁A，∴A₁AED为平行四边形．
故A₁D∥AE，…（6分）
又∵AE⊥平面A₁BC，∴A₁D⊥平面A₁BC． …（7分）
（2）∵A₁E⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A₁E⊥BC
又E为BC的中点，∴A₁C=A₁B…（8分）
∵∠BAC=90°，E为BC中点，∴AE=BE，
∴Rt△A₁EA≌RtA₁EB，∴A₁B=AA₁=4，∴A₁C=4…（9分）
∴△A₁AC中AC边上的高为$\sqrt{{A_1}{C^2}-{{（\frac{AC}{2}）}^2}}=\sqrt{{4^2}-{1^2}}=\sqrt{15}$，
∴${S_{△{A_1}AC}}=\frac{1}{2}•2•\sqrt{15}=\sqrt{15}$，
而${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AC•AB=\frac{1}{2}•2•2=2$，${A_1}E=\sqrt{{A_1}{B^2}-E{B^2}}=\sqrt{{4^2}-（\sqrt{2}}{）^2}=\sqrt{14}$…（12分）
设B到平面A₁ACC₁的距离为d
由${V_{{A_1}-ABC}}={V_{B-{A_1}AC}}$
得$d=\frac{{{A_1}E•{S_{△ABC}}}}{{{S_{△{A_1}AC}}}}=\frac{{2•\sqrt{14}}}{{\sqrt{15}}}=\frac{{2\sqrt{210}}}{15}$，
∴B到平面A₁ACC₁的距离为$\frac{2\sqrt{210}}{15}$．…（14分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．