Question

16．如图，三棱柱ABC-A₁BC₁的底面是边长为2的正三角形，侧棱A₁A⊥底面ABC，D为A₁A的中点．
（Ⅰ）求证：平面B₁DC⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）若∠B₁DC=90°，求点A到平面B₁DC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设E、F分别为线段B₁C、BC的中点，连接DE、EF、AF，推导出△A₁B₁D≌△ACD，DA∥EF，由此能证明平面B₁DC⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）连接AB₁，设DA=x，A到平面B₁CD的距离为h，由${V}_{{B}_{1}-ABC}={V}_{A-DC{B}_{1}}$，能求出点A到平面B₁CD的距离．

解答 证明：（Ⅰ）设E、F分别为线段B₁C、BC的中点，连接DE、EF、AF，
∵A₁D=AD，∠DAC=∠DA₁B₁，A₁B₁=AC，
∴△A₁B₁D≌△ACD，∴DB₁=DC，∴DE=B₁C，
∵EF∥BB₁，DA∥BB₁，∴DA∥BB₁，
∴DA∥EF，DA=$\frac{1}{2}B{B}_{1}$=EF，
∵B₁C∩EF=E，∴DE⊥平面B₁BCC₁，
∵DE?平面B₁DC，∴平面B₁DC⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）连接AB₁，设DA=x，A到平面B₁CD的距离为h，
则DB₁=DC=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，B₁C=$\sqrt{4{x}^{2}+4}$，
∵∠B₁DC=90°，∴4x²+4=x²+4+x²+4，
解得$x=\sqrt{2}$，即${B}_{1}B=2\sqrt{2}$，
由${V}_{{B}_{1}-ABC}={V}_{A-DC{B}_{1}}$，得：$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{6}×h$，
解得h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴点A到平面B₁CD的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．