Question

3．已知首项为3的数列{a_n}满足：$\frac{（{a}_{n+1}-1）（{a}_{n}-1）}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$=3，且b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{2ⁿ•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）计算b_n+1-b_n=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{（{a}_{n+1}-1）（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{3}$；
（2）求出b_n的通项公式，得出T_n，使用错位相减法求和．

解答 解：（1）∵$\frac{（{a}_{n+1}-1）（{a}_{n}-1）}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$=3，∴$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{（{a}_{n+1}-1）（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{3}$，∴b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{（{a}_{n+1}-1）（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{3}$．
∴数列{b_n}是等差数列．
（2）b₁=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{2}$，∴b_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$（n-1）=$\frac{1}{3}$n+$\frac{1}{6}$．
∴T_n=2•$\frac{1}{2}$+2²•$\frac{5}{6}$+2³•$\frac{7}{6}$+2⁴•$\frac{9}{6}$+…+2ⁿ•$\frac{2n+1}{6}$，①
①×2得：2T_n=2²•$\frac{1}{2}$+2³•$\frac{5}{6}$+2⁴•$\frac{7}{6}$+2⁵•$\frac{9}{6}$+…+2ⁿ⁺¹•$\frac{2n+1}{6}$，②
①-②得：-T_n=1+$\frac{1}{3}•{2}^{2}$+$\frac{1}{3}•{2}^{3}$+$\frac{1}{3}•{2}^{4}$+…+$\frac{1}{3}$•2ⁿ-2ⁿ⁺¹•$\frac{2n+1}{6}$=1-2ⁿ⁺¹•$\frac{2n+1}{6}$+$\frac{1}{3}$•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=1-2ⁿ⁺¹•$\frac{2n+1}{6}$+$\frac{1}{3}$•（2ⁿ⁺¹-4）=-$\frac{1}{3}$-$\frac{2n-1}{6}$•2ⁿ⁺¹．
∴T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{2n-1}{6}$•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了数列等差关系的判断，数列求和，属于中档题．