Question

4．如图（1），正三角形ABC边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别为AC和BC边上的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B（如图（2））
（1）请判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角B-AC-D的大小；
（3）求点C到平面DEF的距离．

Answer 1

分析 （1）判断AB∥平面DEF，再由直线与平面平行的判定定理进行证明．
（2）以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AC-D的大小．
（3）先求出平面DEF的法向量，由此能求出点C到平面DEF的距离．

解答 解：（1）判断：AB∥平面DEF，
证明：在△ABC中，E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF．
（2）以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，
B（a，0，0），A（0，0，a），C（0，$\sqrt{3}a$，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{AB}$=（a，0，-a），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\sqrt{3}a$，-a），
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=ax-az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{3}ay-az=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），
又平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角B-AC-D的大小为α，
则cosα=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面角B-AC-D的大小为arccos$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（3）C（0，$\sqrt{3}a$，o），E（0，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$），F（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{DC}$=（0，$\sqrt{3}a$，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0），
设平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{\sqrt{3}a}{2}y+\frac{a}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}a}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，$\sqrt{3}$），
∴点C到平面DEF的距离d=$\frac{|\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}a}{7}$．

点评 本题考查直线与平面的位置关系的判断，考查二面角、点到平面距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．