Question

14．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）$．直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点 P．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求线段AB的长度．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）$，展开化为：ρ²=$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．
（2）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：t²-t-1=0，利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）$，展开化为：ρ²=$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ），化为：x²+y²=2x+2y．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数）代入圆的方程可得：t²-t-1=0，
∴t₁+t₂=1，t₁t₂=-1．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{1-4×（-1）}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．