Question

2．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=$\frac{π}{3}$，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM．
（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）若AD=2，PD=3，求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）过M作MO⊥CD，交CD于O，连结BO，推导出MO∥PD，AD∥BO，由此能证明BM∥平面PAD．
（2）以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面PBC的距离．

解答 证明：（1）过M作MO⊥CD，交CD于O，连结BO，
∵四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=$\frac{π}{3}$，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM，
∴MO∥PD，OD=$\frac{1}{3}CD=1$，∴OD$\underset{∥}{=}$AB，∴AD∥BO，
∵AD∩PD=D，BO∩MO=O，AD、PD?平面ADP，BO、MO?平面BOM，
∴平面ADP∥平面BOM，
∵BM?平面BOM，∴BM∥平面PAD．
解：（2）∵AD=2，PD=3，AB∥CD，∠BAD=$\frac{π}{3}$，AB=1，CD=3，
∴BD=$\sqrt{4+1-2×2×1×cos\frac{π}{3}}$=$\sqrt{3}$，∴BD²+AB²=AD²，
以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，
B（$\sqrt{3}$，1，0），P（0，0，3），C（0，3，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{3}，1，0$），$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}，1，-3$），$\overrightarrow{PC}$=（0，3，-3），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}x+y-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=3y-3z=0}\end{array}\right.$，取x=2$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（2$\sqrt{3}$，3，3），
∴点D到平面PBC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|9|}{\sqrt{30}}$=$\frac{3\sqrt{30}}{10}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．