Question

11．设过点P（2，2）的直线与椭圆x²+2y²=16交于A，B两点，若P为线段AB的中点，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 设出A，B的坐标，代入椭圆方程，利用点差法求出AB所在直线的斜率，利用直线方程的点斜式得答案．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=16$，${{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=16$，
两式相减得${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}=-2（{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}）$，
变形可得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
由P为线段AB的中点可知，x₁+x₂=4，y₁+y₂=4，
于是AB的斜率为-$\frac{1}{2}$，
由点斜式可得AB方程为y-2=-$\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-6=0．

点评 本题考查椭圆的简单性质，训练了“点差法”求中点弦的斜率，是中档题．