Question

3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且经过点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线1经过点F（$\sqrt{2}$，0）与直线x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$交于点M，与椭圆交于A，B两点，设P为直线x=$\sqrt{2}$上异于F的点，设PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃，求证：k₁+k₂=2k₃．

Answer 1

分析 （1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解a，b，c的值可得椭圆方程；
（2）设B（x₀，y₀）（x₀≠1），以之表示出直线FB的方程，求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k₁，k₂，k₃，则结论得证．

解答 （1）解：由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{3{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a²=3，b²=1．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：如图，设B（x₀，y₀）（x₀≠$\sqrt{2}$），
则直线FB的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\sqrt{2}}（x-\sqrt{2}）$
令x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，求得M（$\frac{3\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{2{x}_{0}-2\sqrt{2}}$），
再设P（$\sqrt{2}，m$），
从而直线PM的斜率为k₃=$\frac{\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{2{x}_{0}-2\sqrt{2}}-m}{\frac{3\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}}=\frac{{y}_{0}-\sqrt{2}m{x}_{0}+2m}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\sqrt{2}}（x-\sqrt{2}）}\end{array}\right.$，得A（$\frac{6\sqrt{2}-5{x}_{0}}{5-2\sqrt{2}{x}_{0}}$，$\frac{-{y}_{0}}{5-2\sqrt{2}{x}_{0}}$），
则直线PA的斜率k₁=$\frac{\frac{-{y}_{0}}{5-2\sqrt{2}{x}_{0}}-m}{\frac{6\sqrt{2}-5{x}_{0}}{5-2\sqrt{2}{x}_{0}}-\sqrt{2}}$=$\frac{-{y}_{0}-5m+2\sqrt{2}m{x}_{0}}{\sqrt{2}-{x}_{0}}$，
直线PB的斜率为k₂=$\frac{{y}_{0}-m}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$，
∴k₁+k₂=$\frac{-{y}_{0}-5m+2\sqrt{2}m{x}_{0}}{\sqrt{2}-{x}_{0}}$+$\frac{{y}_{0}-m}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$=$\frac{2{y}_{0}-2\sqrt{2}m{x}_{0}+4m}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$=2×$\frac{{y}_{0}-\sqrt{2}m{x}_{0}+2m}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$=2k₃ ．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，是难题．