Question

20．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC与BD的交点为点M．设$\overrightarrow{{C_1}{D_1}}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{{C_1}{B_1}}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{{C_1}C}=\overrightarrow c$，用$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$表示向量$\overrightarrow{M{B_1}}$，则$\overrightarrow{M{B}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 结合图形，利用空间向量的线性表示与运算，进行运算即可．

解答 解：平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，$\overrightarrow{{C_1}{D_1}}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{{C_1}{B_1}}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{{C_1}C}=\overrightarrow c$，
∴$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DA}$+$\overrightarrow{DC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{{{C}_{1}B}_{1}}$-$\overrightarrow{{{C}_{1}D}_{1}}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），
$\overrightarrow{{BB}_{1}}$=-$\overrightarrow{{C}_{1}C}$=-$\overrightarrow{c}$；
∴向量$\overrightarrow{M{B_1}}$=$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{{BB}_{1}}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）-$\overrightarrow{c}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$．

点评 本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，是基础题目．