Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E与直线x-y+$\sqrt{6}$=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过定点Q（1，0）斜率为k的直线与椭圆C交于M，N两点，若$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=-2，求斜率k的值；
（3）若（2）中的直线MN与⊙E交于A，B两点，设点P在⊙E上．试探究使△PAB的面积为$\frac{\sqrt{21}}{12}$的点P共有几个？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和直线和圆相切的条件，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设直线MN的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解方程可得斜率k；
（3）求得圆心到直线的距离，圆的弦长AB，由三角形的面积公式可得P到AB的距离，结合半径与圆心到直线的距离之差的关系，即可判断P的个数．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
由直线和圆相切的条件可得d=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$=b，
又a²-c²=b²=3，
解得a=2，c=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设直线MN的方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程3x²+4y²=12，
可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
判别式△=64k⁴-4（3+4k²）（4k²-12）
=144+144k²＞0恒成立，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²（x₁x₂+1-x₁-x₂）
=k²（$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+1-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$）=-$\frac{9{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=-2，可得
x₁x₂+y₁y₂=-2，
即为$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{9{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-2，
解方程可得，k=±$\sqrt{2}$；
（3）直线MN：y=±$\sqrt{2}$（x-1），
圆E：x²+y²=3，可得圆心到直线的距离为d=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
弦长|AB|=2$\sqrt{3-\frac{2}{3}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
所以当△PAB面积为$\frac{\sqrt{21}}{12}$时，点P到直线AB的距离为$\frac{1}{4}$．
又圆心到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，圆E的半径r=$\sqrt{3}$，
且$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{3}$＞$\frac{1}{4}$，
所以圆上共有四个点P，使△PAB的面积为$\frac{\sqrt{21}}{12}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，考查直线和圆的性质和应用，解题时要注意直线和圆的位置关系的合理运用．